Родился 21 марта 1922 года в деревне Лукинка Меленковского уезда Владимирской губернии, ныне Судогодского района Владимирской области, в семье крестьянина. Русский. Образование неполное среднее. После школы уехал в город Ковров, окончил школу фабрично-заводского ученичества. В 1939-1640 годах работал слесарем на Ковровском инструментальном заводе № 2 (завод им. В.А. Дегтярева). Потом вернулся домой.
В ноябре 1941 года был призван в Красную Армию Судогодским райвоенкоматом. С февраля 1942 года участвовал в боях с захватчиками на Ленинградском фронте. Боевой путь начал пулеметчиком, в апреле 1942 года под городом Старая Русса был ранен. Вернувшись на фронт сражался уже в артиллерии. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года. Воевал на Западном, Центральном, 1–м Белорусском фронтах.
В августе 1943 года в составе 915-го стрелкового полка 246-й стрелковой дивизии участвовал в боях на Центральном фронте, форсировании реки Десна, освобождении левобережной Украины. Был ранен, награжден медалью «За отвагу».
К лету 1944 года сержант Коньков воевал в составе 1184-го истребительно-противотанкового артиллерийского полка 20-й отдельной истребительно-противотанковой артиллерийской бригады РГК, был наводчиком орудия. За отличие в боях на территории Польши был награжден двумя орденами Славы и второй медалью «За отвагу». Особо отличился в боях при форсировании реки Нарев.
5-10 октября 1944 года в боях за удержание плацдарма на левом берегу реки Нарев у населенного пункта Тшепово (7 км севернее города Сероцк, ПНР) сержант Коньков пи отражении двух контратак противника поджег 3 танка, уничтожил 6 пулемётных расчётов, истребил около 100 гитлеровцев. Продолжал вести огонь даже когда оставался один из всего расчета.
После этих боев политическим отделом 65-й армии была выпущена листовка. На ней снимок – у орудия, готовый к бою воин, под снимком написано: «Беспримерный подвиг кавалера ордена Славы 3-й степени сержанта Конькова», «Учитесь у него искусству побеждать врага».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 февраля 1945 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбе с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство сержанту Конькову Фёдору Герасимовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№7391).
В одном из следующих боев был тяжело ранен. В феврале 1945 года был демобилизован по ранению.
Вернулся на родину. Жил в городе Ковров. Работал на заводе им. Дегтярёва слесарем-наладчиком, контролером ОТК. Скончался 23 июля 1987 года. Похоронен на Троицко-Никольском кладбище на Аллее Славы.
Награжден орденами Ленина (21.02.1945), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985) двумя орденами Славы 3-й степени (10.08.1944, 15.09.1944), медалями, в том числе двумя «За отвагу» (29.09.1943, 22.09.1944).
В городе Коврове в Аллее Героев на площади Победы установлена стела с его именем.
