Родился 8 марта 1921 года в деревне Тарханы ныне Ярковского района Тюменской области в семье крестьянина. Татарин. Окончил 7 классов. Работал в колхозе.
В 1940 году был призван в Красную Армию. В боях Великой Отечественной войны с августа 1941 года. В составе 246-й стрелковой дивизии защищал Москву, сражался на Калининском фронте, участвовал в боях под Ржевом. В Курской битве сержант Калиев воевал уже в составе разведывательной роты.
В июне 1943 года в окрестностях поселка Виженка Дмитровск-Орловского района Курской области, четверо разведчиков, среди которых был сержант Калиев, пошли в тыл врага. Неожиданно они столкнулись с разведкой противника численностью до взвода и первыми открыли огонь. В завязавшемся бою Калиев один уничтожил 12 фашистов. Разведчики успешно выполнили свою задачу. Через три недели в составе разведгруппы Калиев отправился за линию фронта добывать «языка». Добравшись до боевого охранения противника, он первым бросился в траншею и в рукопашной схватке уничтожил трех гитлеровцев.
Особо отличился сержант Калиев в боях за освобождение Украины, при форсировании рек Десна, Днепр осенью 1943 года.
16 сентября 1943 года сержант Калиев в составе разведывательной группы переправился через реку Десна у села Мезин (Коропский район Черниговской области). Он грамотно разведал передовую линию врага и доставил ценные сведения об укреплениях и размещении огневых средств в его обороне.
19 октября 1943 года в составе разведывательной группы одним из первых форсировал Днепр в районе посёлка Лоев (Гомельская область, Белоруссия) На правом берегу разведчики изучили расположение врага, засекли его огневые точки. Данные разведки помогли полкам дивизии успешно форсировать водную преграду.
В декабре 1943 года сержант Калиев стал командиром отделения разведчиков. В его боевой характеристике записано: «Будучи командиром отделения, сержант Калиев отлично подготовил бойцов, передавая накопленный опыт разведывательной деятельности. Пользуется большим авторитетом. В наступательных боях дивизии на 1-м Украинском фронте показал себя способным младшим командиром, умело и настойчиво добивающимся выполнения поставленной задачи».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 января 1944 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками, сержанту Калиеву Анвару присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№1924).
Войну закончил в Германии. Всего за войну Анвар Калиев захватил 33 «языка», в их числе один полковник и один лейтенант.
В 1946 году старшина А.Калиев демобилизован. Уехал в Узбекистан. Жил в посёлке Курганча Галабинского района Ташкентской области. Работал на строительстве Кайраккумской ГЭС (Таджикистан), затем мастером на Аккурганском рыбокомбинате и в рыбообъединении «Балыкчи». С 1983 года жил в городе Ташкент (Узбекистан). Умер 11 сентября 1998 года. Похоронен в деревне Юрта Ярковского района Тюменской области.
Награждён орденами Ленина, Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, Славы 3-й степени, медалями.
Именем Героя названа средняя школа в селе Староалександровка Ярковского района Тюменской области.
